Haben Sie sich jemals gefragt, wie etwas so grundlegend Einfaches wie Zahlen uns jahrhundertelang vor unlösbare Rätsel stellen kann? Nehmen wir die Primzahlen. Wir lernen sie schon in der Schule kennen, diese Zahlen, die nur durch eins und sich selbst teilbar sind. Klingt simpel, oder? Doch genau diese Einfachheit birgt eine tiefe, fast mysteriöse Komplexität, die selbst die größten mathematischen Geister bis heute fasziniert und herausfordert.
Primzahlen: Die faszinierende Einfachheit, die Mathematiker seit Jahrhunderten fesselt
Was genau sind Primzahlen? Ganz einfach: Es sind ganze Zahlen, die man nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilen kann. Eine 7 ist eine Primzahl. Eine 13 auch. Eine 21 hingegen nicht, denn sie lässt sich durch 3 teilen. Und 100 ist auch keine Primzahl, weil sie durch 10 teilbar ist. So weit, so klar.
Die ersten Primzahlen fallen uns leicht ein: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Es scheint wirklich unkompliziert. Aber der Schein trügt gewaltig. Denn genau hier beginnen die jahrhundertealten ungelösten Probleme der Mathematik. Diese Zahlen sind nicht nur einfach, sie sind seltsam, ja fast schon geheimnisvoll.
Die Goldbachsche Vermutung: Milliardenfach bestätigt, aber mathematisch unbewiesen?
Ein Paradebeispiel für solch ein Rätsel ist die Goldbachsche Vermutung. Sie besagt, dass jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, die Summe zweier Primzahlen ist. Diese Behauptung stammt von Christian Goldbach, einem deutschen Mathematiker aus dem 18. Jahrhundert. Er war überzeugt, dass seine Theorie stimmte, wusste aber nicht, wie er sie beweisen sollte.
Goldbach diskutierte (oder besser gesagt, korrespondierte) darüber mit dem vielleicht größten Mathematiker aller Zeiten: Leonhard Euler. Selbst das Supergenie Euler war von Goldbachs Aussage überzeugt. Doch auch er fand keinen Beweis. Und wissen Sie was? Bis heute ist niemandem dieser Beweis gelungen!
Nehmen wir ein paar Beispiele:
* 8 = 5 + 3
* 12 = 5 + 7
* 20 = 17 + 3 (oder auch 13 + 7, oft gibt es mehrere Lösungen)
Es funktioniert jedes Mal! Man könnte meinen, es muss stimmen. Und tatsächlich wurde die Goldbachsche Vermutung von Computern bis zu unfassbaren 4 Quintillionen (also 4 Milliarden mal Milliarden) bestätigt. Aber eine Bestätigung durch Berechnungen ist noch kein mathematischer Beweis für *alle* möglichen Zahlen. Daher bleibt es eine „Vermutung“. Ein Rätsel, das Mathematiker seit rund 300 Jahren beschäftigt.
Mehr ungelöste Primzahlen-Rätsel: Zwillinge, Cousins und „Sexy“ Geheimnisse
Die Frage nach der Verteilung der Primzahlen birgt noch viele weitere ungelöste Probleme. Zum Beispiel finden wir manchmal Primzahlen, die nur einen Abstand von 2 voneinander haben, wie 5 und 7, oder 11 und 13, oder 17 und 19. Diese nennen wir Zwillingsprimzahlen. Gibt es unendlich viele solcher Paare? Auch das wissen wir nicht!
Computer haben bis zu 1 Quintillion gesucht und dabei etwa 800 Billionen Zwillingsprimzahlen gefunden. Doch die Frage nach der Unendlichkeit bleibt unbeantwortet.
Und es gibt noch mehr:
* Cousinprimzahlen: Das sind Primzahlen mit einem Abstand von 4, wie 7 und 11 oder 13 und 17. Gibt es davon unendlich viele? Wir wissen es nicht.
* Sexy-Primzahlen: Das sind Paare mit einem Abstand von 6, zum Beispiel 23 und 29. Der Name hat übrigens nichts mit „sexy“ zu tun, sondern kommt vom lateinischen Wort für sechs. Auch hier die gleiche Frage: Unendlich oder nicht?
Es gibt unzählige solcher Vermutungen über Abstände von 14, 36, 1442 und so weiter. Immer wieder dieselbe Frage: Gibt es unendlich viele davon? Immer wieder die gleiche Antwort: Wir wissen es nicht.
Doch 2013 gab es einen erstaunlichen Durchbruch! Der eher unbekannte Mathematiker Yitang Zhang zeigte, dass es unendlich viele Primzahlpaare gibt, deren Abstand kleiner als 70 Millionen ist. Das klingt vielleicht viel, war aber ein enormer Fortschritt. Innerhalb weniger Monate wurde diese Grenze von anderen Mathematikern kollektiv auf 246 reduziert. Eine faszinierende Geschichte eines Einzelgängers, der abseits des Forschungsbetriebs arbeitete und seine bahnbrechende Arbeit an das *Annals of Mathematics*, eine der angesehensten Zeitschriften, schickte – und über Nacht zum Superstar wurde.
Leonhard Euler: Das blinde Genie, das die Mathematik für immer veränderte
Wir haben ihn schon erwähnt, diesen Giganten der Mathematik: Leonhard Euler. Am 18. September 1783 begann er seinen Tag in St. Petersburg wie gewohnt. Er gab seinen Enkelkindern Mathematikunterricht und widmete sich Berechnungen zur Flugmechanik von Ballons, kurz nachdem die Montgolfier-Brüder in Frankreich den ersten Heißluftballon steigen ließen.
Nach dem Mittagessen arbeitete er mit seinen Assistenten an der Umlaufbahn des Planeten Uranus. Die Gleichungen, die er an diesem Tag entwickelte, sollten Jahre später die Entdeckung des Neptun-Planeten ermöglichen. Doch Euler sollte das nicht mehr erleben. Gegen 17 Uhr erlitt er eine Hirnblutung. Seine letzten Worte waren „Ich sterbe“. Am Abend schloss er für immer die Augen – und beendete die wohl produktivste Mathematikerkarriere aller Zeiten.
Euler, ein gebürtiger Schweizer, verbrachte sein Berufsleben in Berlin und St. Petersburg und prägte Mathematik, Physik und Ingenieurwesen wie kaum ein anderer. Seine Werke sind nicht nur bahnbrechend in ihrer Bedeutung, sondern auch in ihrer schieren Menge. Seine gesammelten Werke, die „Opera Omnia“, umfassen sage und schreibe 73 Bände mit jeweils rund 600 Seiten.
Das Beeindruckendste daran: Die letzten 17 Jahre seines Lebens, in denen er die Hälfte seiner Arbeiten verfasste, waren von persönlichen Tragödien gezeichnet. Und er konnte in dieser Zeit keine einzige Zeile mehr lesen oder schreiben. Nach einer misslungenen Katarakt-Operation war er 1771 komplett erblindet. Tausende von Seiten voller Theoreme diktierte er aus dem Gedächtnis! Eine wirklich unfassbare Leistung.
Das Königsberger Brückenproblem: Wie Euler die Graphentheorie ins Leben rief
Rund 30 Jahre vor seiner Erblindung, noch mit intakten Augen, schrieb Euler eine kurze Abhandlung über ein scheinbar unterhaltsames Problem, das in Königsberg, einer Stadt nahe seiner damaligen Heimat in St. Petersburg, die Gemüter erhitzte. Königsberg war eine blühende Handelsstadt, durchzogen vom Pregel-Fluss, der die Stadt in vier Landmassen teilte, verbunden durch sieben Brücken.
Die Königsberger liebten ein Rätsel: Kann man alle sieben Brücken genau einmal überqueren, ohne eine Brücke zweimal zu nutzen? Bis 1875, als eine neue Brücke gebaut wurde, konnte niemand einen solchen Weg finden. Fast 150 Jahre zuvor, im Jahr 1736, lieferte Leonhard Euler den mathematischen Beweis, dass ein solcher Weg bei sieben Brücken unmöglich ist.
Mit dieser kurzen Abhandlung löste er nicht nur das Königsberger Problem, sondern begründete unwissentlich einen völlig neuen, weitläufigen Bereich der Mathematik: die Graphentheorie. Sie bildet heute die Grundlage unseres Denkens über Netzwerke.
Eulers genialer Ansatz bestand darin, die Königsberger Brücken als Graphen zu sehen – eine Sammlung von Knoten, die durch Verbindungen miteinander verbunden sind. Er stellte die vier Landmassen als Knoten (A, B, C, D) dar und die Brücken als Verbindungen (Linien). Sein Beweis basierte auf einer einfachen Beobachtung: Ein kontinuierlicher Weg, der alle Brücken einmal überquert, kann nur einen Start- und Endpunkt haben. Dies bedeutet, dass in einem solchen Graphen höchstens zwei Knoten eine ungerade Anzahl von Verbindungen haben dürfen. Das Königsberger Brückenproblem hatte jedoch mehr als zwei solcher Knoten, was den Weg unmöglich machte.
Was für die Königsberger ein Spaßrätsel war, wurde durch Eulers Vision zum Fundament einer fundamentalen mathematischen Disziplin. Die Graphentheorie hat sich in den folgenden Jahrhunderten enorm weiterentwickelt, maßgeblich beeinflusst von Mathematikern wie Paul Erdös, und ist heute unerlässlich. Egal, ob es um die Funktionsweise des Internets, soziale Netzwerke oder Routenoptimierung geht – die Konzepte der Graphentheorie stecken dahinter. Eulers unbewusste Botschaft war klar: In den Strukturen von Netzwerken stecken verborgene Eigenschaften, die unsere Fähigkeiten, mit ihnen umzugehen, einschränken oder erleichtern.
Häufig gestellte Fragen
Was ist eine Primzahl?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die ausschließlich durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist. Beispiele sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13.
Was besagt die Goldbachsche Vermutung?
Die Goldbachsche Vermutung ist eine unbewiesene mathematische Aussage, die besagt, dass jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Obwohl sie milliardenfach durch Computerberechnungen bestätigt wurde, fehlt bis heute ein mathematischer Beweis für *alle* möglichen geraden Zahlen.
Was ist die Graphentheorie?
Die Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Graphen befasst. Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten (oder Ecken) und einer Menge von Kanten (oder Verbindungen), die Paare von Knoten miteinander verbinden. Die Graphentheorie wurde von Leonhard Euler mit der Lösung des Königsberger Brückenproblems begründet und findet heute breite Anwendung in Informatik, Logistik, Sozialwissenschaften und vielen anderen Bereichen zur Modellierung und Analyse von Netzwerken.
